88 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Скорость движения маятника формула

Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

где $varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$

где $alpha $ — начальная фаза колебаний; $_0$ — амплитуда колебаний; $_0$ — циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

Максимальная величина кинетической энергии:

где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=_0x_m$ — максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

Ответ. $h=frac<2g>$

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми.textit<>

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

Выразим из нее ускорение:

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

Ответ. $g=9,87 frac<м><с^2>$

Математический маятник: период, ускорение и формулы

Механическая система, которая состоит из материальной точки (тела), висящей на нерастяжимой невесомой нити (ее масса ничтожно мала по сравнению с весом тела) в однородном поле тяжести, называется математическим маятником (другое название – осциллятор). Бывают и другие виды этого устройства. Вместо нити может быть использован невесомый стержень. Математический маятник может наглядно раскрыть суть многих интересных явлений. При малой амплитуде колебания его движение называется гармоническим.

Общие сведения о механической системе

Если маятник находится в положении равновесия (висит отвесно), то сила тяжести будет уравновешиваться силой натяжения нити. Плоский маятник на нерастяжимой нити является системой с двумя степенями свободы со связью. При смене всего одного компонента меняются характеристики всех ее частей. Так, если нитку заменить на стержень, то у данной механической системы будет всего 1 степень свободы. Какими же свойствами обладает математический маятник? В этой простейшей системе под воздействием периодического возмущения возникает хаос. В том случае, когда точка подвеса не двигается, а совершает колебания, у маятника появляется новое положение равновесия. При быстрых колебаниях вверх-вниз эта механическая система приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». У нее есть и свое название. Ее называют маятником Капицы.

Свойства маятника

• Если, сохраняя одинаковую длину маятника, подвешивать различные грузы, то период их колебаний получится одинаковым, хотя их массы будут сильно различаться. Следовательно, период такого маятника не зависит от массы груза.

• Если при запуске системы отклонять маятник на не слишком большие, но разные углы, то он станет колебаться с одинаковым периодом, но по разным амплитудам. Пока отклонения от центра равновесия не слишком велики, колебания по своей форме будут достаточно близки гармоническим. Период такого маятника никак не зависит от колебательной амплитуды. Это свойство данной механической системы называется изохронизмом (в переводе с греческого «хронос» — время, «изос» — равный).

Период математического маятника

Этот показатель представляет собой период собственных колебаний. Несмотря на сложную формулировку, сам процесс очень прост. Если длина нити математического маятника L, а ускорение свободного падения g, то эта величина равна:

Период малых собственных колебаний ни в какой мере не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний. В этом случае маятник двигается как математический с приведенной длиной.

Колебания математического маятника

Математический маятник совершает колебания, которые можно описать простым дифференциальным уравнением:

где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); ω – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (ω = √g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Уравнение малых колебаний вблизи положення равновесия (гармоническое уравнение) выглядит так:

Колебательные движения маятника

Математический маятник, который совершает малые колебания, двигается по синусоиде. Дифференциальное уравнение второго порядка отвечает всем требованиям и параметрам такого движения. Для определения траектории необходимо задать скорость и координату, из которых потом определяются независимые константы:

где θ – начальная фаза, A – амплитуда колебания, ω – циклическая частота, определяемая из уравнения движения.

Математический маятник (формулы для больших амплитуд)

Данная механическая система, совершающая свои колебания со значительной амплитудой, подчиняется более сложным законам движения. Для такого маятника они рассчитываются по формуле:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

где sn — синус Якоби, который для u 2 августа, 2014

Скорость движения маятника формула

Все формулы по физике и математике

Темы по физике

  • Механика (56)
  • Кинематика (19)
  • Динамика и статика (32)
  • Гидростатика (5)
  • Молекулярная физика (25)
  • Уравнение состояния (3)
  • Термодинамика (15)
  • Броуновское движение (6)
  • Прочие формулы по молекулярной физике (1)
  • Колебания и волны (22)
  • Оптика (9)
  • Геометрическая оптика (3)
  • Физическая оптика (5)
  • Волновая оптика (1)
  • Электричество (39)
  • Атомная физика (15)
  • Ядерная физика (3)

    Темы по математике

    • Квадратный корень, рациональные переходы (1)
    • Квадратный трехчлен (1)
    • Координатный метод в стереометрии (1)
    • Логарифмы (1)
    • Логарифмы, рациональные переходы (1)
    • Модуль (1)
    • Модуль, рациональные переходы (1)
    • Планиметрия (1)
    • Прогрессии (1)
    • Производная функции (1)
    • Степени и корни (1)
    • Стереометрия (1)
    • Тригонометрия (1)
    • Формулы сокращенного умножения (1)
    Читать еще:  Как правильно пользоваться цешкой

    Период математического маятника — период колебания математического маятника зависит от длины нити: с уменьшением длины нити период колебания уменьшается

    Для математического маятника выполняются некоторые законы:

    1 закон. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника, подвешивать разные грузы (например 5кг и 100 кг), то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.

    2 закон. Если маятник отклонять на разные, но маленькие углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока амплитуда маятника будут малы, колебания и по своей форме будут похожи на гармонические, и тогда период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство приняло название изохронизмом..

    Давайте выведем формулу периода математического маятника.

    На груз m математического маятника действуют сила тяжести mg и сила упругости нити Fynp. Ось 0Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для данного случая:

    С проецируем все на ось ОХ:

    При малых углах

    Сделав замены и маленькие преобразования у нас получается, что уравнение имеет вид:

    Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

    Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

    Тогда период математического маятника будет равен:

    Период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и от длины маятника l. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Так же мы установили количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2p

    Период пружинного маятника

    Период физического маятника

    Период крутильного маятника

    В Формуле мы использовали :

    — Период математического маятника

    — Длина подвеса

    — Ускорение свободного падения

    — Циклическая частота пружинного маятника

    — Сила упругости

    — Длина дуги АВ

    Математическим маятником (осциллятором) называется раскачиваемая механическая система из нерастяжимой нити с пренебрежительно малой массой и подвешенного на ней тела с точечной массой. При описании свойств такого идеального маятника пренебрегают также силами трения и прочими потерями, возникающими при проведении аналогичных опытов в реальных условиях.

    Колебания идеального маятника (зависимость угла отклонения от времени) описываются уравнением:

    $phi(t) = phi_0 cdot cos(omega_0 cdot t + alpha)$,

    • $phi(t)$ – угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент $t$,
    • $omega_0$ — циклическая частота,
    • $alpha$ — исходный угол отклонения,
    • $phi_0$ — амплитуда.

    Свойства математического маятника

    Эксперименты, проведенные над маятниками со свойствами, близкими к идеальным, показали их следующие свойства:

    • период колебаний зависит не от массы подвешенного груза, а только от длины нити;
    • при небольших углах отклонения частота колебаний не зависит и от амплитуды (это явление называется изохронизмом).

    Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

    Период колебаний идеального маятника можно определить по формуле:

    где $l$ – длина нити математического маятника, $g$ – ускорение свободного падения.

    Применение маятников на практике

    Маятники применяют для создания хронометров. В таких часах период колебаний, отсчитывающих время, регулируют изменением расстояния между точкой крепления подвеса к неподвижной оси и центром тяжести подвешенного груза.

    Колебания маятника математически впервые описал в XVII в. Христиан Гюйгенс, который применил свои теоретические разработки для создания точных механических часов.

    В геодезии зависимость частоты колебаний маятников от изменения силы гравитации используется при определении географической широты.

    Уточнить ускорение свободного падения для данной географической широты, если математический маятник длиной 1 м, совершает колебания с частотой 0,5 Гц (амплитуда колебаний достаточно мала).

    Выразим ускорение из уравнения периода колебаний математического маятника:

    Частота $omega$ — величина обратная периоду колебаний, значит

    Подставив значения, получим

    Ответ: ускорение приблизительно равно $9,8696 м/с^2$

    Задай вопрос специалистам и получи
    ответ уже через 15 минут!

    Определение и формулы математического маятника

    Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

    Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

    Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

    Уравнение движения математического маятника

    Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

    где $varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

    Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$

    где $alpha $ — начальная фаза колебаний; $ _0$ — амплитуда колебаний; $ _0$ — циклическая частота.

    Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

    Циклическая частота и период колебаний математического маятника

    Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

    Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

    Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

    Уравнение энергии для математического маятника

    При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

    где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:

    Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

    Максимальная величина кинетической энергии:

    где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m= _0x_m$ — максимальная скорость.

    Примеры задач с решением

    Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

    Решение. Сделаем рисунок.

    Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

    Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

    Ответ. $h=frac $

    Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми. extit<>

    Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

    Читать еще:  Что нужно для хромирования

    Выразим из нее ускорение:

    Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

    Математический маятник. Частота колебаний математического маятника (формула).

    Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, и совершавшая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Если отклонить маятник от положения равновесия, то сила тяжести и сила упругости будут направлены под углом. Равнодействующая сила уже не будет равна нулю. Под воздействием этой силы маятник устремится к положению равновесия, но по инерции движение продолжится и маятник отклоняется в другую сторону. Равнодействующая сила его снова возвращает.

    Частота математического маятника — Чем больше период колебаний математического маятника, тем меньше частота.

    Важно где происходят колебания! На Луне и на Земле один и тот же математический маятник при одинаковых начальных условиях колебаться будет по-разному. Так как ускорение свободного падения на Луне отличается от ускорения свободного падения на Земле.

    Линейная скорость материальной точки, линейное ускорение материальной точки, единицы измерения. Сложение скоростей.

    линейная скорость — это производная от пройденного пути по времени.

    Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости (метр/сек). Скорость каждой точки, будучи направлена по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости определяется скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный :

    Линейная скорость точки по определению:

    линейное ускорение — это производная от скорости по времени.

    Формула линейного ускорения:

    a = dv/dt = d 2 s/dt 2 , где s – путь,пройденный телом.

    Сложение скоростей — с помощью данного закона определяется скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта. Она равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы

    Для того, чтоб было более понятно, как работает закон сложения скоростей, рассмотрим такой пример. Вагон движется со скоростью 50 кмч (это будет ), в вагоне идет человек со скоростью 3 кмч (это будет ), найти скорость человека относительно Земли.

    У данной задачи будет два решения. Если человек будет идти по направлению движения вагона, то скорость человека относительно Земли будет 53 кмч.

    А если человек будет идти против движения вагона, то скорость человека относительно Земли будет 47 кмч.

    В Формуле мы использовали :

    — Конечная скорость тела

    — Скорость тел в различных инерциальных системах отчета

    Свободные колебания. Пружинный маятник. Частота колебаний пружинного маятника (формула).

    Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначальной сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания).

    Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = kx, где k жесткость пружины.

    Частота пружинного маятника — Чем больше период колебаний пружинного маятника, тем меньше частота

    — Частота Пружинного маятника, — Период колебаний маятника

    — Масса груза, или масса маятника, — Жесткость пружины

    Угловая скорость, частота вращения, период вращения (определение, единицы измерения, связь между величинами). Связь между линейной и угловой скоростями.

    Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

    Период и частота

    Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

    Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

    Частота и период взаимосвязаны соотношением

    Связь с угловой скоростью

    Линейная скорость точки. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдет путь . Поскольку время одного оборота тела есть период T, то модуль линейной скорости точки можно найти так:

    Так как , то

    Условия возникновения затухающих колебаний (соотношение между собственной частотой и коэффициентом затухания). Амплитуда затухающих колебаний (формула).

    Соотношение: β — коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

    Амплитуда колебаний — это максимальное расстояние, на которое удаляется колеблющееся тело от своего положения равновесия. Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону , где А – начальная амплитуда. Зависимость амплитуды показана на рис. 8.3.

    Рис. 8.3. График затухающих колебаний

    Механическая работа (определение, единицы измерения). Мощность силы (определение, единицы измерения).

    Механическая рабоат — то скалярная физическая величина, которая характеризует процесс перемещения тела под действием силы и равна произведению модуля силы F на модуль перемещения S и на косинус угла между ними

    Если тело под действием силы совершает перемещение , работа А этой силы равна скалярному произведению силы на вектор перемещения. Работа силы есть скалярная величинаА=

    А=

    мощность силы — скалярная физическая величина N, равная отношению работы А, совершаемой силой, к промежутку времени , в течение которого она совершается:

    Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Мощность N это физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа:

    В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт (Вт). Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.

    Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила, то она совершает работу . Поэтому мощность этой силы

    Уравнение движения математического маятника

    Математический маятник

    Содержание

    Введение

    Уравнение движения математического маятника

    Период колебаний

    Выводы

    Литература

    Введение

    Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, Стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.

    Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определённый период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля — не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.

    Уравнение движения математического маятника

    Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.

    Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную Mt в сторону положительного отсчёта угла j, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения

    mW=F+N, (1)
    где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.

    Рисунок 1

    Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.

    . (2)

    Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде

    или ,

    где W есть ускорение точки.

    Итак уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

    Читать еще:  Чем отличается метрическая резьба от дюймовой визуально

    или .

    В нашем случае получим в проекции на ось t

    ,
    где m есть масса маятника.

    Так как или , отсюда находим

    .
    Сокращая на m и полагая

    , (3)
    будем окончательно иметь:

    ,

    ,

    ,

    . (4)
    Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол j и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:

    при t = 0, . (5)
    Из интеграла энергии:

    , (6)
    где V — потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол jЈj. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол j мал (jЈ1); тогда угол j будет также мал и можно приближённо положить sinj»j. При этом уравнение (4) примет вид

    . (7)
    Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

    , (8)
    где A и B или a и e суть постоянные интегрирования.

    Отсюда сразу находим период (T) малых колебаний математического маятника (период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)

    и

    ,
    т.к. sin имеет период равный 2p, то wT=2p Ю

    (9)

    Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:

    . (10)
    Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

    т.е. B=0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:

    Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как

    ,
    то (4) можно представить в виде

    .
    Отсюда, умножая обе части уравнение на dj и интегрируя, получим:

    . (12)
    Обозначим здесь через j угол максимального отклонения маятника; тогда при j = j будем иметь , откуда C = w 2 cosj. В результате интеграл (12) даёт:

    , (13)
    где w определяется равенством (3).

    Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения

    , (14)
    где — работа на перемещении MM активной силы F, если учесть, что в нашем случае v=0, и (см. рис.).

    Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между значениями +j и -j (|j|Јj, так как ), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:

    Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

    .
    Разделяя здесь переменные, будем иметь:

    . (16)

    , ,
    то

    .
    Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:

    . (17)

    Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно найти квадратуру левой части. Для этого перейдём от j к новым переменному a, полагая:

    , где . (18)

    ,
    откуда

    .
    Кроме того,

    .
    Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя w его значением (3), получим:

    . (19)

    По принятым начальным условиям (15) при t=0 угол j=0, а следовательно, как видно из (18), и a=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19) определённые интегралы справа от 0 до t, а слева от 0 до a, получим закон движения маятника в виде

    . (20)

    Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.

    . (21)
    Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел a как функцию от интеграла u, то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

    ,
    или

    . (22)

    Беря от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:

    . (23)

    Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), , то, переходя в равенстве (23) от a к j с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде

    . (24)

    Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

    Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 10007 — | 7789 — или читать все.

    188.64.174.65 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

    Отключите adBlock!
    и обновите страницу (F5)

    очень нужно

    Подготовка к EГЭ по физике . В1- На установление соответствия (Кодификатор 1.5.1 – 1.5.5). Получение формул периода и максимальной скорости колебаний

    Подготовка к EГЭ по физике

    В1- На установление соответствия (Кодификатор 1.5.1 – 1.5.5)

    Получение формул периода и максимальной скорости колебаний

    Что нужно знать (Теория)

    1) Уравнение гармонических колебаний маятника (физического [пружинного] или математического [грузик на нити]

    х – текущая координата (смещение маятника от положения равновесия)

    А – амплитуда колебаний – максимальное смещение от положения равновесия – А=х(max)

    ω0 — собственная циклическая частота колебаний

    (выбор функции cos или sin, а так же сдвиг по фазе, в данных заданиях, думаю, будет не важен)

    2) — формула связи циклической частоты и частоты колебаний υ (НЮ)

    3) Используя формулу связи частоты и периода колебаний

    4) Формулы периодов маятников от свойств системы

    — для математического маятника

    l – длина нити маятника

    g – ускорение свободного падения

    — для физического маятника

    m – масса грузика

    k – жёсткость пружины

    5) Скорость – это есть первая производная по перемещению (координате), ускорение – вторая производная по координате:

    Увы, этот материал в курсе алгебры в 11 классе изучается только в конце года (вот она нестыковка образовательных систем). Поэтому, не вдаваясь в математический аппарат производной от сложной функции, необходимо просто на запоминание выучить ещё две формулы:

    Чем ещё можно запутать?

    1) Выразить период и частоту колебаний через формулы 7-го класса:

    t – общее время колебаний маятника

    n – число полных колебаний маятника

    2) Задать исходное уравнение колебаний в непривычном написании. Например

    x = с·sin(b·t + p / 2)

    Здесь самое главное уметь чётко ориентироваться в форме написания формулы

    Пример преобразования формул (математический маятник):

    В этих комбинациях, кстати, можно спрятать и период (частоту)

    ускорение – вторая производная по координате

    Задания для самостоятельного решения

    В1-1 . Математический маятник совершает свободные колебания по закону

    За время t он совершает n полных колебаний. Длина нити l. Установите соответствие между физическими величинами, и формулами их описывающими:

    ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА ФОРМУЛА

    А) Период колебаний маятника 1) 2)

    Б) Максимальная скорость маятника

    В1-2. Математический маятник совершает свободные колебания по закону

    За время t он совершает n полных колебаний. Длина нити l. Установите соответствие между физическими величинами, и формулами их описывающими:

    ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА ФОРМУЛА

    А) Частота колебаний 1) 2)

    В1-3. Математический маятник совершает свободные колебания по закону

    За время t он совершает n полных колебаний. Длина нити l. Установите соответствие между физическими величинами, и формулами их описывающими:

    ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА ФОРМУЛА

    А) Максимальная скорость маятника 1) 2)

    Б) Циклическая частота

    В1-4. Математический маятник совершает свободные колебания по закону

    За время t он совершает n полных колебаний. Длина нити l. Установите соответствие между физическими величинами, и формулами их описывающими:

    ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА ФОРМУЛА

    А) Ускорение 1) 2)

    Б) Период колебаний

    3) 4)

    В1-5. Физический маятник совершает свободные колебания по закону

    За время t он совершает n полных колебаний. Масса груза – m, жёсткость пружины — k. Установите соответствие между физическими величинами, и формулами их описывающими:

    ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА ФОРМУЛА

    А) Ускорение 1) 2)

    Б) Циклическая частота

    3) 4)

    В1-6. Физический маятник совершает свободные колебания по закону

    За время t он совершает n полных колебаний. Масса груза – m, жёсткость пружины — k. Установите соответствие между физическими величинами, и формулами их описывающими:

    ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА ФОРМУЛА

    А) Период колебаний 1) 2)

  • Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector