Диагональ правильного шестиугольника формула

Правильный шестиугольник

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
help@ege-study.ru (круглосуточно)

Пробные репетиционные ЕГЭ: пройдите бесплатное тестирование! Все, как на настоящем ЕГЭ.
Звоните, чтобы записаться:

8 (495) 984-09-27 или 8 (800) 775-06-82

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.

1. Уравнения (задача 13)
2. Стереометрия (задача 14)
3. Неравенства (задача 15)
4. Геометрия (задача 16)
5. Финансовая математика (задача 17)
6. Параметры (задача 18)
7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — выпуклый шестиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

(blacktriangleright) Каждый угол правильного шестиугольника равен (120^circ) .

(blacktriangleright) Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне.

(blacktriangleright) Большие диагонали правильного шестиугольника делят его на (6) равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.

(blacktriangleright) Центры вписанной и описанной около правильного шестиугольника окружностей есть точка пересечения больших диагоналей этого шестиугольника.

(blacktriangleright) Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна [S=dfrac<3sqrt3>2a^2]

К окружности, описанной около правильного шестиугольника (ABCDEF) , в точке (A) проведена касательная. Найдите угол между этой касательной и прямой (AD) . Ответ дайте в градусах.

Т.к. центр описанной около правильного шестиугольника окружности есть точка пересечения больших диагоналей, то он лежит на отрезке (AD) , то есть (AD) – диаметр описанной окружности. Т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то угол между касательной и (AD) равен (90^circ) .

Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен (sqrt<12>) . Найдите радиус описанной около этого шестиугольника окружности.

По свойству правильного шестиугольника радиус (r) вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр падает в середину стороны.

Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне (a) . Тогда из прямоугольного треугольника:

[a^2=left(frac a2right)^2+r^2 quad Rightarrow quad a=dfrac 2,r quadRightarrow quad a=dfrac2cdot sqrt<12>=4]

Таким образом, и радиус описанной окружности равен (4) .

Периметр правильного шестиугольника равен (72) . Найдите диаметр описанной окружности.

Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника). Рассмотрим чертеж:

Так как угол правильного шестиугольника равен (180^circ(6-2):6=120^circ) , а большие диагонали являются биссектрисами углов, то, например, (angle BAO=angle ABO=60^circ) , следовательно, (triangle ABO) – равносторонний. То есть радиус окружности равен (AO) и равен (AB) . Так как периметр шестиугольника равен (72) , то его сторона равна (72:6=12) . Тогда диаметр описанной окружности равен (2cdot 12=24) .

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной (sqrt3) .

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно (S=pcdot r) , где (p) – полупериметр, а (r) – радиус вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (S=dfrac<3sqrt3>2a^2) , полупериметр равен (3a) , тогда [dfrac<3sqrt3>2cdot (sqrt3)^2=3sqrt3cdot rquadRightarrowquad r=1,5]

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен (sqrt3) .

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно (S=pcdot r) , где (p) – полупериметр, а (r) – радиус вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (S=dfrac<3sqrt3>2a^2) , полупериметр равен (3a) , тогда [dfrac<3sqrt3>2a^2=3acdot sqrt3quadRightarrowquad a=2]

Площадь правильного шестиугольника равна (24sqrt3) . Найдите длину его большей диагонали.

По свойству правильного шестиугольника большая его диагональ в два раза больше его стороны. Следовательно, если (AB=a) , то (AD=BF=CE=2a) .

Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна (frac4 a^2) , то площадь всего шестиугольника равна

[S=6cdot dfrac4a^2=24sqrt3 quad Rightarrow quad a=4 quad Rightarrow quad AD=2a=8.]

Около правильного шестиугольника (ABCDEF) описана окружность с центром в точке (O) . Расстояние от точки (O) до одной из его сторон равно (4sqrt<3>) . Найдите радиус этой окружности.

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.

(OK) – высота в треугольнике (AOF) , опущенная из (O) . Так как расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую, то (OK = 4sqrt<3>) .
Пусть (R) – радиус описанной окружности, тогда (OF = R) , (KF = 0,5R) (так как (OK) ещё и медиана), таким образом, по теореме Пифагора (R^2 = (0,5R)^2 + (4sqrt<3>)^2) , откуда (R = 8) .

Теме «Правильный шестиугольник и его свойства» в ЕГЭ по математике традиционно отводится сразу несколько заданий. Причем в зависимости от условия от учащегося может требоваться как развернутый, так и краткий ответ. Именно поэтому в процессе подготовки к сдаче аттестационного испытания выпускникам непременно стоит научиться решать задачи на применение свойств этой фигуры, в которых необходимо найти ее стороны, диагонали, радиус окружности со вписанным правильным шестиугольником и т. д.

Восполнить пробелы в знаниях, «прокачать» навыки и улучшить собственные знания по данной теме вам поможет образовательный проект «Школково». Наши специалисты подготовили и изложили весь базовый материал для подготовки к ЕГЭ в максимально доступной форме.

Чтобы школьники могли успешно справляться с задачами по данной теме, мы рекомендуем повторить базовые понятия: каковы свойства правильного шестиугольника, описанного около окружности, как вычисляется его площадь, чему равны его углы и т. д. Весь необходимый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Он был разработан нашими сотрудники на основе богатого практического опыта.

Для закрепления полученных знаний предлагаем потренироваться в решении соответствующих задач, а также заданий по теме «Параллелограмм в ЕГЭ». Найти их вы сможете в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте представлены алгоритм решения и правильный ответ.

Готовиться к ЕГЭ школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.