Как найти жесткость пружинного маятника

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

где $<щu>^2_0=frac$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где $_0=sqrt>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; $<(omega >_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и $_1$ — начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re tilde=Releft(Acdot exp left(ileft(_0t+varphi right)right)right)left(3right).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Так как частота колебаний ($nu $) — величина обратная к периоду, то:

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

Амплитуду можно найти как:

начальная фаза при этом:

где $v_0$ — скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

где $dot=v$ — скорость движения груза; $E_k=frac>^2><2>$ — кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac<Н><м>$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac<м><с>$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

Потенциальная энергия равна:

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A $где $A$ и $omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_$, значит:

Механические колебания. Пружинный маятник

Механическими колебаниями называются движения, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Гармоническими называются колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (или косинуса).

Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из груза массой т, закрепленного на пружине, совершающая гармонические колебания под действием упругой силы , зависящей от величины линейной деформации x по закону Гука (F_x = – kx, где k – жесткость пружины.

Согласно второму закону Ньютона уравнение движения маятника:

Так как ускорение a является второй производной от смещения x (), то

или .

Если обозначить , то получим дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний пружинного маятника:

Решением этого дифференциального уравнения является функция x(t):

где – отклонение тела от положения равновесия в момент времени t;

А – амплитуда колебания, то есть максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия;

w – круговая (циклическая) частота;

j – начальная фаза колебания.

Круговая частота , где Т – период колебаний: .

Кинетическая энергия колебаний пружинного маятника:

Потенциальная энергия колебаний пружинного маятника:

Полная энергия колебаний пружинного маятника:

откуда видно, что полная энергия свободных незатухающих гармонических колебаний пружинного маятника остается со временем постоянной.

Свободные затухающие гармонические колебания пружинного маятника (рис. 6). Для пружинного маятника массой т, совершающего колебания под действием упругой силы (F_x = – kx)с учетомсилы сопротивления , пропорциональной скорости движения груза (), второй закон Ньютона имеет вид:

где r – коэффициент сопротивления.

Обозначив и ( – коэффициент затухания), получим дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний пружинного маятника:

Решением этого дифференциального уравнения в случае малых затуханий

является функция x(t):

где – амплитуда затухающих колебаний в момент времени t;

– начальная амплитуда, т.е. амплитуда в момент времени t = 0,

Читать еще: Как работает холодная сварка

– круговая (циклическая) частота:

Период затухающих гармонических колебаний пружинного маятника:

Декремент затухания. Если A(t)и А(t+Т) – амплитуды двух последовательных колебаний (рис. 6), то отношение этих величин называется декрементом затухания .

Логарифм называется логарифмическим декрементом затухания :

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8931 — | 7238 — или читать все.

188.64.174.65 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Свободные колебания. Пружинный маятник

Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.

Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.

F ( t ) = m a ( t ) = — m ω 2 x ( t ) .

Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.

То есть груз с массой m , прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2 . 2 . 1 , составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.

Рисунок 2 . 2 . 1 . Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота

Нахождение круговой частоты ω 0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:

m a = — k x = m ω 0 2 x .

Частоту ω 0 называют собственной частотой колебательной системы.

Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:

T = 2 π ω 0 = 2 π m k .

Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

x 0 = m g k , тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω 0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t :

Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

m a — m x = — k x , или x ¨ + ω 0 2 x = 0 , где свободная частота ω 0 2 = k m .

Если физические системы зависят от формулы x ¨ + ω 0 2 x = 0 , тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x = x m cos ( ω t + φ 0 ) .

Свободные колебания

Уравнение вида x ¨ + ω 0 2 x = 0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω 0 или период Т .

Амплитуда x m и начальная фаза φ 0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆ l и моменте времени, равном t = 0 , производится его опускание без начальной скорости. Тогда x m = ∆ l , φ 0 = 0 . Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ± υ 0 , отсюда x m = m k υ 0 , φ 0 = ± π 2 .

Амплитуда x m с начальной фазой φ 0 определяются наличием начальных условий.

Рисунок 2 . 2 . 2 . Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2 . 2 . 2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ , тогда возникает момент силы упругой деформации кручения M у п р :

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

I ε = M у п р = — x θ или I θ ¨ = — x θ , где моментом инерции обозначается I = I C , а ε – угловое ускорение.

Аналогично с формулой пружинного маятника:

ω 0 = x I , T = 2 π I x .

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Рисунок 2 . 2 . 3 . Крутильный маятник.

Как найти коэффициент жёсткости пружины: формула, определение

Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?

Сила упругости и закон Гука

Для начала определим основные термины, которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация — это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д. ), то деформация пластическая.

Примерами пластических деформаций являются:

лепка из глины;
погнутая алюминиевая ложка.

В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:

резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
пружина (после сжатия снова распрямляется).

В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:

где F — сила упругости, x — расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k — необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).

Читать еще: Какое масло можно использовать для цепи бензопилы

Определение коэффициента жесткости

Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ — на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:

Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.

Единица измерения жесткости в СИ — Н/м.

Расчет жесткости системы

Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости. В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.

Последовательное соединение системы пружин

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,

где k — общая жесткость системы, k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента, i — общее количество всех пружин, задействованных в системе.

Параллельное соединение системы пружин

В случае когда пружины соединены параллельно, величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

k = k1 + k2 + … + ki.

Измерение жесткости пружины опытным путем — в этом видео.

Вычисление коэффициента жесткости опытным методом

С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука. Для проведения эксперимента понадобятся:

линейка;
пружина;
груз с известной массой.

Последовательность действий для опыта такова:

Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
Сила, которая вызвала деформацию, — это сила тяжести тела. Формула для ее расчета — F = mg, где m — это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g — величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.

Примеры задач на нахождение жесткости

Задача 1

На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.

Рассчитываем длину абсолютного удлинения: x = 14—10 = 4 см = 0,04 м.
По формуле находим коэффициент жесткости: k = F/x = 100 / 0,04 = 2500 Н/м.

Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.

Задача 2

Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.

Найдем силу тяжести, деформирующей пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
Определим коэффициент упругости: k = F/x = 98 / 0.04 = 2450 Н/м.
Рассчитаем, с какой силой действует второй груз: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
По закону Гука запишем формулу для абсолютного удлинения: x = F/k.
Для второго случая подсчитаем длину растяжения: x = 245 / 2450 = 0,1 м.

Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как определить жесткость пружины.

Пружинный маятник

Урок 27. Видеоуроки. Решение задач по физике. Электродинамика.

Конспект урока «Пружинный маятник»

«Мир, в котором мы живём,

удивительно склонен к колебаниям….

Колеблются даже атомы,

из которых мы состоим».

Данная тема посвящена решению задач на пружинный маятник.

Задача 1. На пружину с жёсткостью 50 Н/м подвешивают груз массой 3 кг. За какое время груз совершит 30 полных колебаний?

Период колебаний пружинного маятника может быть определён по формуле

Период колебаний, в общем случае также рассчитывается по формуле

Приравняем эти формулы и выразим искомое время

Задача 2. К пружине подвешен груз массой 100 г. После того, как массу груза увеличили, период колебаний увеличился в 2,5 раза. Найдите массу, на которую увеличили массу груза.

Период колебаний пруженного маятника определяется по формуле

Применим эту формулу для начального и конечного периодов

Т.к. по условию задачи

Преобразуем данное выражение

Задача 3. Шарик массой 400 г подвешен на пружине. Собственная частота колебаний шарика равна 15 рад/с, а начальная амплитуда колебаний равна 40 см. Известно, что система теряет энергию со скоростью 2 Дж/с. Через какое время после начала затухания колебаний шарик остановится?

Энергия пружинного маятника рассчитывается по формуле

Собственная частота пружинного маятника определяется по формуле

Выразим из этой формулы коэффициент жёсткости и подставим его в первую формулу

Составим уравнение, учитывая то, что шарик остановится в тот момент, когда система исчерпает свою энергию (то есть, начальная энергия будет уменьшаться с указанной в задаче скоростью, в течение определённого промежутка времени)

Задача 4. Пружинный маятник совершает колебания по закону косинуса. Известно, что максимальная скорость, достигаемая системой при колебаниях равна 3 м/с, а период колебаний составляет 10 с. Постройте графики зависимости координаты и скорости от времени. Сдвиг фаз равен нулю.

Запишем уравнение гармонических колебаний

Циклическую частоту пружинного маятника можно рассчитать по формуле

Читать еще: Как сделать снегоуборочную машину из мотоблока

С другой стороны циклическая частота определяется как

Запишем закон сохранения энергии для пружинного маятника

При колебаниях потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот, поэтому, полную энергию можно приравнять к максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии.

Приравняем эти две формулы и выразим амплитуду

Тогда с учетом значений амплитуды и циклической частоты уравнение гармонических колебаний примет вид

Скорость гармонических колебаний описывается уравнением

По полученным зависимостям построим требуемые в условии задачи графики

Задача 5. Шарик, прикреплённый к пружине, совершает колебания в горизонтальной плоскости с периодом 5 с. Если эту пружину заменить на другую, то период колебаний станет равен 8 с. Найдите период колебаний, системы, состоящей из этих двух пружин и шарика (пружины соединяются последовательно).

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле

Применим эту формулу к первому и второму значению периода и выразим из этих формул коэффициенты жёсткости пружин

При некотором сжатии (или растяжении) в каждой из пружин возникнут силы упругости. Пусть в пружине, конец которой зафиксирован, возникает сила упругости F₁ (которая будет действовать на вторую пружину). В свою очередь, во второй пружине тоже возникнет сила упругости, которая будет действовать на первую пружину (обозначим её за F₂).

Запишем закон Гука

Очевидно, что смещение шарика будет определяться как

Пружинный маятник — формулы и уравнения нахождения величин

Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики.

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.

Приняты следующие обозначения:

k — коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Виды пружинных маятников

Существует два типа данной системы:

Вертикальный маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

Горизонтальный — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

Сила упругости в пружинном маятнике

До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её.

Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:

где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),

Уравнения колебаний пружинного маятника

Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.

Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:

F(t) = ma(t) = — mw2x(t),

где w — радиальная частота гармонического колебания.

Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

Факторы, от которых зависит частота:

Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника.

В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).

Энергия пружинного маятника

При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:

Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.

В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.

Влияние силы трения при расчете не учитывают.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника

Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.